Определитель суммы матриц не равен сумме их определителей. Это важное свойство линейной алгебры, которое часто вызывает вопросы у изучающих тему.
Содержание
Основное свойство определителя суммы
Для квадратных матриц A и B одинакового размера в общем случае выполняется:
| det(A + B) | ≠ | det(A) + det(B) |
Пример для матриц 2×2
Рассмотрим две матрицы:
| A = | 1 0 | B = | 0 1 |
| 0 1 | 1 0 |
Вычислим определители:
- det(A) = 1×1 - 0×0 = 1
- det(B) = 0×0 - 1×1 = -1
- det(A) + det(B) = 0
- det(A + B) = det(1 1; 1 1) = 1×1 - 1×1 = 0
Частные случаи
| Условие | Результат |
| B = kA (матрицы пропорциональны) | det(A + B) = (1 + k)ndet(A) |
| Одна из матриц нулевая | det(A + 0) = det(A) |
| Матрицы коммутируют и A или B вырождена | Могут быть исключения |
Почему определитель суммы не равен сумме определителей
Определитель является мультипликативной, а не аддитивной функцией. Это связано с его геометрическим смыслом - он представляет коэффициент изменения объема при линейном преобразовании.
Важное следствие
При вычислении определителя суммы матриц необходимо сначала выполнить сложение матриц, а затем вычислить определитель результата. Нельзя просто сложить определители отдельных матриц.
